如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为y=kx(1)求出线段

如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为y=kx(1)求出线段AB的长;(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得C... 如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为y=kx(1)求出线段AB的长;(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线EF,交AC于E,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值. 展开
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解:(1)由y=
3
4
x+6
与x、y轴分别交于点A,点B,
得:x=0时,y=6,y=0时,x=-8,
故A(-8,0),B(0,6),
∴AO=8,OB=6,
∴AB=
62+82
=10;

(2)作CD⊥y轴于点D,
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∠CBO+∠ABO=90°,
∴∠BAO=∠CBD,
∵在△ABO和△BDC中,
∠BOA=∠BDC
OAB=∠CBD
AB=BC

∴△ABO≌△BDC(AAS),
∴CD=OB=6,BD=OA=8,
∴OD=BD-OB=8-6=2,
∴C(6,-2),
∴k=6×(-2)=-12;

(3)连接FC交AP于M,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°,
∵EF⊥AC,
∴∠BDF=∠EDC=45°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BFD=∠BDF=45°,
∴BD=BF,
∵在△ABD和△CBF中,
BF=BD
∠CBF=∠ABD
BC=BA

∴△ABD≌△CBF(SAS),
∴∠BAD=∠DCM,
∴∠DMC=∠ABD=90°,
∴PF 2-PC2=(FM2+MP2)-(CM2+MP2
=FM2-CM2
=(DF2-DM2)-(CD2-DM2
=DF2-CD2
∵D是BC的中点,
∴BD=CD=5,
∴BF=5,
∴DF=
52+52
=5
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