Question

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值?13．（Ⅰ

设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值?13．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（Ⅲ）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f(x1)?f(x2)|≤43．

Answer 1

（I）解：因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由题意得

f(1)＝a+c＝? 1 3 f′(1)＝3a+c＝0

，
解得a＝

1

6

，c＝?

1

2

（II）不存在．
证明：假设存在x₁，x₂，则f'（x₁）?f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因为x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．
（III）证明：f′(x)＝

1

2

x2?

1

2

由f′(x)＝

1

2

x2?

1

2

=0得x=±1fmin(x)＝f(1)＝?

1

3

，fmax(x)＝f(?1)＝

1

3

所以|f(x1)?f(x2)|≤fmax(x)?fmin(x)＝f(?1)?f(1)＝

2

3

＜

4

3