已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-23处都取得极值.(1)求实数a,b

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-23处都取得极值.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值;(3)... 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-23处都取得极值.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值;(3)若对任意x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围. 展开
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猫又゛餻叴
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知道答主
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(1)解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,
f′(x)=3x2+2ax+b        
由f′(-
2
3
)=
12
9
-
4
3
a+b=0,
f′(1)=3+2a+b=0   
得a=-
1
2
,b=-2                    
(2)由(1)知f′(x)=3x2-x-2,
x (-1,-
2
3
-
2
3
(-
2
3
,1)
1 (1,2)
f′(x) + 极大值 - 极小值 +
f(x) c+
22
27
c-
3
2
∴函数f(x)的极大值为c+
22
27
,极小值为c-
3
2

(3)∵f(2)=2+c
∴x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c
∵对于任意的x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,
∴只需2+c<c2
解得c<-1或c>2.
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