Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；（2）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求证x1x2＞e2．

Answer 1

解答：（1）解：∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，
∴方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，
则a=

lnx

x

，令h（x）=

lnx

x

，h′（x）=

1?lnx

x2

，
当x＞e，h′（x）＜0；当0＜x＜e，h′（x）＞0．
故x=e，h（x）取极大值，也为最大值

1

e

．
∴实数a的取值范围是：（

1

e

，+∞）．
（2）证明：令x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴x₁?x₂＞e²等价于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?a＞

2

x1+x2

，
即

lnx1?lnx2

x1?x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 ?1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t，则t＞1，x₁?x₂＞e²等价于lnt＞

2(t?1)

t+1

，
令g（t）=lnt-

2(t?1)

t+1

，g′（t）=

(t?1)2

t(t+1)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上递增，
即有g（t）＞g（1）=0，即lnt＞

2(t?1)

t+1

成立．
故x₁?x₂＞e²．