Question

记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式an

记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式an及Sn；（Ⅱ） 若cn=2n?（2an-λ），n=1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{cn}为单调递减数列？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 由已知得：S3＝9，a52＝a3?a8，
∴

3a1+ 3×2 2 d＝9 (a1+4d)2＝(a1+2d)?(a1+7d)

，解得：a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1，
Sn＝

n(2+n+1)

2

＝

n2

2

+

3

2

n；
（Ⅱ）由题知c_n=2n(

2

n+1

?λ)．
若使{c_n}为单调递减数列，
则c_n+1-c_n=2n+1(

2

n+2

?λ)-2n(

2

n+1

?λ)=2n(

4

n+2

?

2

n+1

?λ)＜0对一切n∈N^*恒成立，
即：

4

n+2

?

2

n+1

?λ＜0?λ＞(

4

n+2

?

2

n+1

)max，
又

4

n+2

?

2

n+1

=

2n

(n+2)(n+1)

＝

2n

n2+3n+2

＝

2

n+ 2 n +3

，
当n=1或2时，(

4

n+2

?

2

n+1

)max=

1

3

．
∴λ＞

1

3

．