如图,在平面直角坐标系中,以A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B、C,与y轴的负半轴相交于D.
如图,在平面直角坐标系中,以A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B、C,与y轴的负半轴相交于D.(1)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点,求此抛物线...
如图,在平面直角坐标系中,以A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B、C,与y轴的负半轴相交于D.(1)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点,求此抛物线的解析式,并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标;(2)若动直线MN(MN∥x轴)从点D开始,以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动,且与线段CD、y轴分别交于M、N两点,动点P同时从点C出发,在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动,连接PM,设运动时间为t秒,当t为何值时,MN?OPMN+OP的值最大,并求出最大值;(3)在(2)的条件下,若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似,求实数t的值.
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解答:解:(1)由A(3,0)可知OA=3,又圆的半径为5得OB=2,OC=8,
所以B(-2,0)C(8,0),易得D(0,-4),
设y=a(x+2)(x-8),
从而-4=a(0+2)(0-8),
解得a=
,
所以y=
(x+2)(x-8),
即y=
x2-
x-4,
又-
=3,点D和点E关于直线x=3对称,
所以E(6,-4);
(2)N(0,t-4),因为MN∥OC,
所以
=
,即MN=2t,
又OP=8-2t,所以
=
=-
(t-2)2+2
所以当t=2时取最大值2;
(3)若△PCM∽△OCD,
则
=
,即
=
,
解得t=2;
若△MCP∽△OCD,则
=
,
即
=
,
解得t=
即当t=2或t=
时,以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似.
所以B(-2,0)C(8,0),易得D(0,-4),
设y=a(x+2)(x-8),
从而-4=a(0+2)(0-8),
解得a=
1 |
4 |
所以y=
1 |
4 |
即y=
1 |
4 |
3 |
2 |
又-
b |
2a |
所以E(6,-4);
(2)N(0,t-4),因为MN∥OC,
所以
MN |
DN |
OC |
OD |
又OP=8-2t,所以
MN?OP |
MN+OP |
2t(8?2t) |
2t+8?2t |
1 |
2 |
所以当t=2时取最大值2;
(3)若△PCM∽△OCD,
则
PC |
PM |
OC |
OD |
2t |
4?t |
8 |
4 |
解得t=2;
若△MCP∽△OCD,则
PC |
MC |
DC |
OC |
即
2t | ||||
4
|
4
| ||
8 |
解得t=
20 |
9 |
即当t=2或t=
20 |
9 |
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