Question

宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球

宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为v．已知该星球的半径为R，引力常量为G，求（1）该星球的质量M？（2）在该星球上发射人造卫星的最小发射速度？

Answer 1

（1）以初速度v₀水平抛出物体，物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，故有：
水平方向：v_x=v₀
竖直方向：v_y=gt
又落地时物体的速度v=

v 2 x + v 2 y

故可得物体落地时竖直方向的速度vy＝

v2? v 2 x

＝

v2? v 2 0

所以星球表面的重力加速度g＝

vy

t

＝

v2? v 2 0

t

又在星球表面重力与万有引力相等故有mg＝G

mM

R2

可得星球的质量M=

gR2

G

=

v2? v 2 0 R2

Gt

（2）该星球人造卫星的发射速度即为该星球的第一宇宙速度，即近地卫星的运行速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
G

mM

R2

＝m

v2

R

可得：v=

GM R

＝

G? v2? v 2 0 R2 Gt R

=

v2? v 2 0 R t

答：（1）该星球的质量为：

v2? v 2 0 R2

Gt

（2）在该星球上发射人造卫星的最小发射速度为

v2? v 2 0 R t

Answer 2