Question

已知函数f（x）=x2，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）

已知函数f（x）=x2，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；（2）是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）F′（x）=x²-2elnx
∴F′（x）=2（x-

e

x

）=

2(x2?e)

x

（x＞0），
令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），
∴当0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，F（x）在（0，

e

）上单调递减；
当x＞

e

时，F′（x）＞0，F（x）在（

e

，+∞）上单调递增．
∴当x=

e

时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（

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