Question

已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，且PO=4，M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值是 .

已知∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，且PO=4，M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值是 .

Answer 1

作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD． 则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形． 则CD=  OC= ×4 = ．