Question

附加题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高

附加题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°．
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE为等腰△ABD的高，
∴E是BD的中点（等腰三角形三线合一）．
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=x，
∴AD=2x．
在Rt△DGC中∠C=60°，且DC=AD=2x，
∴DG=

3

x．
由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF．
∴四边形DEGF的面积=

1

2

EF?DG．
∴y=

1

2

×2x?

3

x=

3

x²（x＞0）．