Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=12，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥AC，交AB于点D，连接PQ．点P，Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t为何值时，△CPQ的面积为5？（2）当t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在这样的t，使△ACD为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得：AP=t，CQ=2t，PC=6-t，
则有S_△CPQ=

1

2

×CQ×PC=

1

2

×2t×（6-t）=5，
整理得：t²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5．
∴当t为1（秒）或5（秒）时，△CPQ的面积为5．

（2）①若△PCQ∽△ACB，
则有

CP

CA

=

CQ

CB

，
∴

6?t

6

=

2t

12

，
解得：t=3．
②若△QCP∽△ACB，
则有

CQ

CA

=

CP

CB

，
∴

2t

6

=

6?t

12

，
解得：t=1.2．
∴当t为3（秒）或1.2（秒）时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

（3）①若DA=DC，
∵DP⊥AC，
∴AP=CP=3，
∴t=3．
②若AD=AC，
则有AD=6．
∵∠APD=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APD∽△ACB，
∴

AP

AC

=

PD

CB

，
∴

t

6

=

PD

12

，
∴PD=2t．
在Rt△APD中，
∵AP²+PD²=AD²，
∴t²+（2t）²=6²，
解得：t=

6 5

5

．
③若CD=CA，
则CD=6．
在Rt△CPD中，
∵CP²+PD²=CD²，
∴（6-t）²+（2t）²=6²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

12

5

．
∴当t的值为3（秒）或

6 5

5

（秒）或

12

5

（秒）时，△ACD为等腰三角形．