Question

已知圆M：x2+（y-4）2=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B

已知圆M：x2+（y-4）2=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当P的横坐标为165时，求∠APB的大小；（Ⅱ）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所以定点的坐标．（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题可知，圆M的半径r=2，P(

16

5

，

8

5

)，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°
又因MP=

(0? 16 5 )2+(4? 8 5 )2

＝4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°；　　　　　　　　　　　…（4分）
（Ⅱ）证明：设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：(x?b)2+(y?

b+4

2

)2＝

4b2+(b?4)2

4

，即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y?4＝0 x2+y2?4y＝0

，…（7分）
解得

x＝0 y＝4

或

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