Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AD=2，AA1=1，E为BB1的中点．（1）求证：B1D∥平面AEC；（2）求证：AC

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AD=2，AA1=1，E为BB1的中点．（1）求证：B1D∥平面AEC；（2）求证：AC⊥B1D；（3）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

（1）证明：连接BD，交AC于O，连接OE，则

∵E为BB₁的中点，O为BD的中点
∴B₁D∥OE
∵B₁D?平面AEC，OE?平面AEC
∴B₁D∥平面AEC；
（2）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，∴AC⊥B₁D
∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC
∵BB₁∩B₁D=B₁，∴AC⊥平面BB₁D
∴AC⊥B₁D；
（3）求三棱锥E-ACD的体积，即求三棱锥E-ACB的体积，
∵AB=AD=2，AA₁=1，E为BB₁的中点
∴三棱锥E-ACB的体积=

1

3

×

1

2

×2×2×

1

2

=

1

3

∴三棱锥E-ACD的体积为

1

3

．