Question

已知二次函数y=a（x-m）2-2a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与

已知二次函数y=a（x-m）2-2a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

Answer 1

（1）证明：y=a（x-m）²-2a（x-m）=ax²-（2am+2a）x+am²+2am．
当a≠0时，△=（2am+2a）²-4a（am²+2am）=4a²
∵a≠0，
∴4a²＞0．
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）y=a（x-m）²-2a（x-m）=a（x-m-1）²-a．
∴C（m+1，-a）．
当y=0时，
解得x₁=m，x₂=m+2．
∴AB=（m+2）-m=2．
当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．
∴|-a|=1．
∴a=±1．