Question

在△ABC中，∠C=2∠B，AD为△ABC的角平分线．（1）如图①，当∠C=90°，在AB上截取AE=AC，连接DE，线段AB

在△ABC中，∠C=2∠B，AD为△ABC的角平分线．（1）如图①，当∠C=90°，在AB上截取AE=AC，连接DE，线段AB、AC、CD的数量关系是AB=AC+CD，请给以证明；（2）如图②，当∠C≠90°，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出结论，并加以证明．

Answer 1

解答：（1）证明：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵∠C=90°，∠C=2∠早念B，
∴∠B=45°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中

AD＝AD ∠CAD＝∠EAD AC＝AE

∴△CAD≌△EAD，
∴∠AED=∠C=90°，CD=DE，
∵∠B=45°，
∴∠蠢宏BDE=∠AED-∠B=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
（2）AB=AC+CD，
证明：在AB上截陆档困取AE=AC，连接DE，
∵在△CAD和△EAD中

AD＝AD ∠CAD＝∠EAD AC＝AE

∴△CAD≌△EAD，
∴∠AED=∠C，CD=DE，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．