Question

如图，△ABC中，AB=2，BC=2 3 ，AC=4，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使 点A落在BC上的

如图，△ABC中，AB=2，BC=2 3 ，AC=4，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使 点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC．（1）求AD的长；（2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）因为AB=2，BC=2 3 ，AC=4， ∴AC 2 =AB 2 +BC 2 ， ∴△ABC是直角三角形，∠B=90°， 又∵AC=2AB， ∴∠C=30°，∠BAC=60° 由FD⊥BC，得∠DFC=60°， 又∵AF=DF， ∴∠FAD=∠FDA=30°， ∴∠DAB=30°， ∴ADcos30°=AB，得 AD= 4 3 3 ． （2）四边形AEDF是菱形． 证明：∵AB⊥BC，FD⊥BC， ∴AE ∥ FD， ∵∠BAC=60°， ∴∠AFD=120°， ∵∠DAF=30°，AF=DF， ∴∠ADF=30°， ∴∠EAD=∠ADE=30°， ∴∠EDF=60°， ∴AF ∥ ED， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AF=DF， ∴平行四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．