Question

如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点

如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．（1）求证：直线FB是⊙O的切线；（2）若BE= 3 cm，则AC=______cm．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∵∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴∠ADE=∠ABE=30°， ∴∠FDC=∠ADE=30°． ∵∠F=15°， ∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°． 又∵在△ABC中，AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=45°， ∴∠ABC=90°，即AB⊥FB． 又∵AB是直径， ∴直线FB是⊙O的切线； （2）∵在直角△AEB中，BE= 3 cm，∠BAE=60°， ∴AB= BE sin60° = 3 3 2 =2（cm）． ∴在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AB=2cm，则AC= 2 AB=2 2 cm． 故答案是：2 2 ．