Question

已知数列 、 满足： .(1)求 ；(2) 证明数列 为等差数列，并求数列 和 的通项公式；(3)设 ，求实

已知数列 、 满足： .(1)求 ；(2) 证明数列 为等差数列，并求数列 和 的通项公式；(3)设 ，求实数 为何值时 恒成立。

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Answer 1

（1)  ； （2） ； (3) ≤1时， 恒成立 。

试题分析：（1) ∵      ∴ . 4分 （2）∵ ∴ ， ∴ ∴数列{ }是以4为首项，1为公差的等差数列           6分 ∴      ∴       8分 (3)   ∴ ∴           10分 由条件可知 恒成立即可满足条件 设 当 时， 恒成立, 当 时，由二次函数的性质知不可能成立 当 时，对称轴          12分 在 为单调递减函数． ∴     ∴ 时 恒成立           13分 综上知： ≤1时， 恒成立                14分 点评：难题，本题综合性较强，综合考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，裂项相消法，数列不等式的证明。确定等差数列的通项公式，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组，以达到解题目的。本题从递推公式出发，研究“倒数数列”的特征，达到解题目的。涉及数列和的不等式证明问题，往往先求和、再放缩、得证明。本题通过构造函数、研究函数的最值，达到证明目的。