Question

已知二次函数f（x）=ax2-2x+a（a≠0）．（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞

已知二次函数f（x）=ax2-2x+a（a≠0）．（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=-1时，不等式为-x²-2x-1＜0，
即（x+1）²＞0，所以x≠-1，
所以所求不等式的解集为{x|x≠-1}；
（2）不等式为：ax²-2x+a＞0．
①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；
②当a≠0时，则需

a＜0 △＝4?4a2≤0

，所以a≤-1．
综合得a≤-1；
（3）不等式为：ax²-2x+a＞0，即a＞

2x

x2+1

，
因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a＞(

2x

x2+1

)max，
因为

2x

x2+1

＝

2

x+ 1 x

≤1，
所以a的取值范围为a≥1．