Question

已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列

（1）证明：12S3,S12—S6成等比数列（2）求和Tn=a1+2a4+3a7+......+na3n-2 请回答时写出详细过程，谢谢！！

Answer 1

证明： ∵a1,2a7,3a4成等差数列。 a7=a1×q＾6 a4=a1×q＾3 ∴ 4a7=a1+3a4 4a1×q＾6=a1+a1×q＾3 令q＾3=x 4x＾-3x-1=0 x1=q＾3=1 ∵q≠1 ∴舍去 x2=q＾3=-1/4 S6=a1×（1-q＾6）/（1-q） S3=a1×（1-q＾3）/（1-q） S12=a1×（1-q＾12）/（1-q） S12-S6=a1×q＾6×（1-q＾6）/（1-q） 12S3×（S12-S6） =（a1）＾12×（1-q＾6）×（1-q＾3）×q＾6/（1-q）＾ =[（a1）＾×（1-q＾6））×（1-q＾3）/（1-q）＾]×q＾6×12 =[（a1）＾×（1-q＾6）×（1-q＾3）/（1-q）＾]×（3/4） （S6）＾=（a1）＾×（1-q＾6）＾）×（1-q＾3）/（1-q）＾ =[（a1）＾×（1-q＾6））×（1-q＾3）/（1-q）＾]×（1+q＾3） =[（a1）＾×（1-q＾6））×（1-q＾3）/（1-q）＾]×（3/4） ∴（S6）＾=12S3×（S12-S6） 12S3，S6，S12－S6成等比数列 (2) Tn=a1+2a4+3a7＋...+na(3n-2) =a1+2a1q＾3+3a1q＾6+4a1q＾9+......na1q＾(3n-3) 令q＾3=k Tn=a1+2a1k+3a1k＾2+4a1k＾3+......na1k＾(n-1) k×Tn=a1k+2a1k＾2+3a1k＾3+4a1k＾4+......na1k＾(n) Tn-kTn=a1[1+k+k＾+k＾3+k＾4+...+k＾n) Tn=a×(1-k＾n)/(1-k)＾ 其中k=q＾3=-1/4

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