Question

已知a,b,c属于（0，1）。求证（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4。

Answer 1

反证法
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中都大于1/4
(1-a)b>1/4
(1-b)c>1/4
(1-c)a>1/4
即
√[(1-a)b]>1/2
√[(1-b)c]>1/2
√[(1-c)a]>1/2
三式相加√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2
由基本不等式a+b≥2√ab
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2
三式相加
√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2
与√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2矛盾
所以假设不成立
命题得证

Answer 2

网上的，给你复制下
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)
>
3/2
(*)
而由基本不等式：a,b∈r+,
a+b≥2√(ab),
有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)
>
3/2
(*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
证毕