Question

当x分别取1/2013,1/2012...1/2,1,2...2012,2013时，计算代数式1-x²/1+x²的值，将所得的结果相加

当x分别取1/2013,1/2012...1/2,1,2...2012,2013时，计算代数式1-x²/1+x²的值，将所得的结果相加，其和等于？ 求过程！
A。-1 B。0 C。1 D。2013

Answer 1

感觉分子应该是（1-x^2）吧，如果是x^2的话结果应该是2012.5没这个选项。。。
(1-x^2)/(1+x^2)=(1+x^2-2x^2)/(1+x^2)=1-2x^2/(1+x^2)=1-2/((1/x^2)+1)
x取1/2013,1/2012...1/2,1时候，用1-2/((1/x^2)+1)：
和=2013-2（1/(2013^2+1)+1/(2012^2+1)+.......+1/(2^2+1)+1/(1^2+1))
x取2...2012,2013时候，用1-2x^2/(1+x^2)：
和=2012-2（2013^2/(2013^2+1)+2012^2/(2012^2+1)+.......+2^2/(2^2+1)）
两次和相加之后，括号里面那些分数合并同分母项，可以消去：
解=2013+2012-2(1+1+1+......+1+1/2)=2013+2012-2*2012-1=0
选B。
如果那个分子是x^2的话，计算方法一样的

Answer 2

B 因为 (1-x^2)/(1+x^2)=[(1-x^2)/x^2]/[(1+x^2)/x^2]=(1/x^1-1)/(1/x^2+1)=-(1-1/x^2)/(1+1/x^2)
若令 f(x)=(1-x^2)/(1+x^2) 则f(1/2)+f(2)=f(1/3)+f(3)=.........f(1/2013)+f(2013)=0
因为 f(1)=0 所以将所得的结果相加，其和等于
f(1)+[f(1/2)+f(2)]+[f(1/3)+f(3)]+.........+f(1/2013)+f(2013)=0