Question

初二数学13题 要过程

Answer 1

①当MN在边AB上时，在MN上取点P，连接CP使得∠PCM=∠ACM
由∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°=∠MCN
可知∠PCN=∠MCN-∠PCM=∠MCN-∠ACM=∠BCN
在CP上取点Q使得QC=AC
易知⊿ACM全等于⊿QCM，则QM=AM，∠CQM=∠CAM=45°
同时⊿BCN全等于⊿QCN，则QN=BN，∠CQN=∠CBN=45°
∴∠MQN=∠CQM+∠CQN=90°
∴AM²+BN²=QM²+QN²=MN²

②当M在BA延长线上，N在边AB上时，在NM延长线上取点P，连接CP使得∠PCM=∠ACM
∠PCN=∠MCN+∠PCM=∠MCN+∠ACM=∠MCN+∠MCN-∠ACN=90°-∠ACN=∠BCN
在CP上取点Q使得QC=AC
易知⊿ACM全等于⊿QCM，则QM=AM，∠CQM=∠CAM=135°
同时⊿BCN全等于⊿QCN，则QN=BN，∠CQN=∠CBN=45°
∴∠MQN=∠CQM-∠CQN=90°
∴AM²+BN²=QM²+QN²=MN²

③当M在边AB上，N在AB延长线上时，在MN延长线上取点P，连接CP使得∠PCM=∠ACM
∠PCN=∠PCM-∠MCN=∠ACM-45°=90°-∠BCM-45°=45°-∠BCM=∠MCN-∠BCM=∠BCN
在CP上取点Q使得QC=AC
易知⊿ACM全等于⊿QCM，则QM=AM，∠CQM=∠CAM=45°
同时⊿BCN全等于⊿QCN，则QN=BN，∠CQN=∠CBN=135°
∴∠MQN=∠CQN-∠CQM=90°
∴AM²+BN²=QM²+QN²=MN²