Question

如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD

Answer 1

（1）证明：连接AC，BD交于O点，则：AO=OC

再连接EO，则：

EO是△PAC的PA边上的中位线

所以：EO∥PA

而：EO在平面EDB上

所以：PA∥平面EDB

（2）证明：

因为：PD⊥平面ABCD，且AC在平面ABCD上

所以：PD⊥AC

而：由四边形ABCD是正方形得知AC⊥BD，且PD∩BD=D

所以：AC⊥平面PDB

而：DF在平面PDB上

所以：AC⊥DF

（3）解：在△PDB中，过F作FM∥PD，交BD于M点，

因为：PD⊥平面ABD，

所以：FM⊥平面ABD

所以：FM是三棱锥F-ABD的高

由已知求得：S△ABD=1/2，BD=PC=√2，PB=√3，BC=1

所以：PB²=PC²+BC²

所以：△PCB是直角三角形，

所以：S△CEB=(1/2)(√3)EF=EF(√3)/2，S△ECB=(1/2)*1*[(√2)/2]=(√2)/4

而：S△CEB=S△ECB

即：EF(√3)/2=(√2)/4

求得：EF=(√6)/6

所以：PF=√{[(√2)/2]²-[(√6)/6]²}=(√3)/3

所以：FB=2(√3)/3

所以：由FM/PD=BF/BP求得FM=2/3

所以：棱锥F-ABD的体积为 (1/3)*(1/2)*(2/3)=1/9

即：棱锥B-ADF的体积为1/9