线性代数，第五题怎么做？！！求解释
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【分析】
有两个概念
向量组的秩：向量组的极大线性无关组的个数
向量组等价：若向量组A、B能互相线性表出，则A、B等价。
向量组等价，那么秩相等。但秩相等，二者不一定等价。
【解答】
A、秩相等，不能推出等价。错误。 (可以用反证法，或者特例证明）
B、秩(α1，α2，...，αs，β1，β2，...，βt)≤r+r=2r，由秩的不等式可得。无法推出 = r。
可由特例推出秩≠r
C、【证明】
设αi的极大线性无关组为α1，α2，...，αr
βi的极大线性无关组为β1，β2，...，βr
由于已知αi能被βi线性表示，那么下面证明βi也可以由αi线性表示。
由αi被βi线性表示，则αi的极大线性无关组也可由βi的极大线性无关组线性表示
α1=k11β1+k12β2+...+k1rβr
α2=k21β1+k22β2+...+k2rβr
......
设矩阵B=(β1，β2，...，βr)，A=(α1，α2，...，αr)，系数kij组成系数矩阵C
那么上式可以表示为非齐次线性方程组BC=A
由于r(A)=r(B)=r，A，B可逆，那么C一定可逆。
BC=A等式两端右乘C-1，得B=AC-1。
也就是(β1，β2，...，βr)=(α1，α2，...，αr)C-1
即α1，α2，...，αr能线性表示β1，β2，...，βr，所以也能线性表示全部βi
综上所述，αi，βi能够互相线性表示，根据定义，等价。
D、秩相等，不能推出等价。错误。 (可以用反证法，或者特例证明，与A错误点一样）
线性代数的概念是理解，解答题目的关键。
本不想回答，分太少。看到别人给了错误的解答。特纠正。
newmanhero 2015年5月9日22:28:31
希望对你有所帮助，望采纳。
有两个概念
向量组的秩：向量组的极大线性无关组的个数
向量组等价：若向量组A、B能互相线性表出，则A、B等价。
向量组等价，那么秩相等。但秩相等，二者不一定等价。
【解答】
A、秩相等，不能推出等价。错误。 (可以用反证法，或者特例证明）
B、秩(α1，α2，...，αs，β1，β2，...，βt)≤r+r=2r，由秩的不等式可得。无法推出 = r。
可由特例推出秩≠r
C、【证明】
设αi的极大线性无关组为α1，α2，...，αr
βi的极大线性无关组为β1，β2，...，βr
由于已知αi能被βi线性表示，那么下面证明βi也可以由αi线性表示。
由αi被βi线性表示，则αi的极大线性无关组也可由βi的极大线性无关组线性表示
α1=k11β1+k12β2+...+k1rβr
α2=k21β1+k22β2+...+k2rβr
......
设矩阵B=(β1，β2，...，βr)，A=(α1，α2，...，αr)，系数kij组成系数矩阵C
那么上式可以表示为非齐次线性方程组BC=A
由于r(A)=r(B)=r，A，B可逆，那么C一定可逆。
BC=A等式两端右乘C-1，得B=AC-1。
也就是(β1，β2，...，βr)=(α1，α2，...，αr)C-1
即α1，α2，...，αr能线性表示β1，β2，...，βr，所以也能线性表示全部βi
综上所述，αi，βi能够互相线性表示，根据定义，等价。
D、秩相等，不能推出等价。错误。 (可以用反证法，或者特例证明，与A错误点一样）
线性代数的概念是理解，解答题目的关键。
本不想回答，分太少。看到别人给了错误的解答。特纠正。
newmanhero 2015年5月9日22:28:31
希望对你有所帮助，望采纳。
追问
好厉害啊！！！好标准！谢谢大神～god bless you～～
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