Question

哪位大神能帮忙解一解这道数学题？

如图，已知二次函数y=ax2－4x+c的图像经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求Q 到y轴的距离．
(3)设抛物线与y轴的的交点为C，点P为抛物线的对称轴上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

Answer 1

把 A（-1, -1) B(3, -9) 带入方程
-1 = a + 4 + c
-9 = 9a - 12 + c
解得
a = 1
c = -6
y = x^2 - 4x -6
函数 对称轴 为 x = 4/2 = 2

2) E 点 在 抛物线上
m = m^2 -4m - 6
m^2 -5m - 6 = 0
(m+1)(m-6) = 0
所以 m = 6
点E（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 那么 Q点的 y坐标也应该 和E点相同
Q 到y轴的距离 = m = 6

3) 计算C 点 坐标 x= 0 带入 Cy = -6
设 P 点 坐标 为 （2， p)
则有 PC^2 + CB^2 = PB^2
( 2 - 0)^2 + (p + 6 )^2 + ( 0 - 3)^2 + (-6 + 9) ^2 = ( 2 - 3)^2 + (p + 9)^2
21 = (p+9)^2 - (p + 6)^2
21 = 3(2p+15)
p = -4
P 坐标( 2, -4)

Answer 2

解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9，分别代入y=ax2-4x+c得，
解得，a=1,c=-6
∴二次函数的表达式为y=x2-4x-6．
（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入y=x2-4x-6，得m=m2-4m-6，解得m1=-1，m2=6．
∵m＞0，
∴m1=-1不合题意，舍去．
∵m=6，
∴点P与点Q关于对称轴x=2对称，
∴点Q到x轴的距离为6。