Question

一百分悬赏两个关于数学的很简单的问题……但需要给我解释明白了。

第一个问题：
函数平移的实质是什么？“沿向量平移”之类的到底有什么意义？坐标系的平移呢？别跟我说什么左加右减上加下减，我问的是实质！实质！我不是不会做题，所以也不用拿高中的题目来给我讲。我只是不明白它涉及的原理，即它与函数表达式的关系到底是怎么来的。即使讲的高深点也无所谓，总之要把这个说明白。
第二个问题。现在我们的数学课本里没有极坐标的内容了。但感觉它似乎对解析几何挺有用。能不能请人讲解一下它与圆锥曲线的关系，以及具体的使用？要说的具体有用哦。copy来的也无所谓，只要我看了之后觉得有用就成。

我觉得这两个问题对大学生应该都是小菜一碟。总之谢谢了。
三楼的那位筒子说得很好涅。

Answer 1

函数平移就是坐标变换，坐标平移也是，极坐标也是——就是用另一种方式来表达平面的点。
所有这些都想说明一个事情，即几何事实是与坐标无关的那些东西。

比如椭圆，标准方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1，这个方程本身没有本质的东西，只是诸多坐标系中使得方程最简的那个结果。但是椭圆本身的几何性质，比如“任一点到焦点的距离和为定值”，比如“从一个焦点发出的光发射到另一个焦点”，比如“椭圆是圆锥投影的截面曲线”……这些东西，不管是用标准方程，还是一般方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，还是极坐标方程r/(r*cos(theta)+A)=B……来描述，都是成立的。

至于平移，这种坐标变换反映了平面本身存在的一些特性（某些对称性）。这至少反映了平面上所有的点都是一样的（homogeneous），没有一个点有特殊性。如果你学过物理，知道动量守恒，而动量守恒的本质就是“空间任何一点都是一样的”，或者说“平移不变性”。而能量守恒的本质是“时间的任一点都是一样的”，等等。

所以无论几何还是物理，坐标变换都想说明一个事情，就是“坐标不是本质的，所以我们可以采取一个方便的坐标，使得计算最简单”。这就是为什么要做坐标变换，因为变换完了计算方便。比如椭圆的标准方程，一眼就知道长轴是多少，短轴是多少，中心在哪里，长短轴的方向是什么。等等等等。

Answer 2

先说一下，我初二，不是大学生。

1、

上加下减这样解释：
设一条直线的函数解析式为y=kx，那么这条直线一定通过(0,0)。如果解析式是y=kx+b，说明当x=0的时候y=b，即y=kx+b一定通过(0,b)，这时可以看成是(0,0)这个点向上移动了b格（如果b是负数那么就是向下移动了-b格）。同样的道理，原来y=kx通过(x,kx),那么y=kx+b通过(x,kx+b),可以看成是(x,kx)这个点向上移动了b格（如果b是负数那么就是向下移动了-b格）

左加右减的本质就是上加下减。这样解释：
设一条直线的函数解析式为y=kx，那么这条直线一定通过(0,0)。如果解析式是y=kx+b，说明当y=0的时候x=-b/k，即y=kx+b一定通过(-b/k,0)，这时可以看成是(0,0)这个点向右移动了-b/k格（如果-b/k是负数那么就是向左移动了b/k格），明白么？

2、极坐标，我毕竟才初二，没怎么接触，只是以前有用到过，但是体会不是很深，我就复制一些东西给你吧：

关于极坐标的：
http://baike.baidu.com/view/418140.htm

它和圆锥曲线的关系：
http://zhidao.baidu.com/question/69895294.html

极坐标定义：
http://www.furongedu.com/Info/Files/%5b1902%5d%e5%9c%86%e9%94%a5%e6%9b%b2%e7%ba%bf%e7%9a%84%e6%9e%81%e5%9d%90%e6%a0%87%e6%96%b9%e7%a8%8b.swf

例题：
http://www.jswxyx.com/book/books/FangDIURL/Location00267/001000000560098.doc

满意么？

Answer 3

上加下减这样解释：
设一条直线的函数解析式为y=kx，那么这条直线一定通过(0,0)。如果解析式是y=kx+b，说明当x=0的时候y=b，即y=kx+b一定通过(0,b)，这时可以看成是(0,0)这个点向上移动了b格（如果b是负数那么就是向下移动了-b格）。同样的道理，原来y=kx通过(x,kx),那么y=kx+b通过(x,kx+b),可以看成是(x,kx)这个点向上移动了b格（如果b是负数那么就是向下移动了-b格）

Answer 4

三楼这句说的好``````几何 事实是与坐标无关的那些东西。

其实坐标 说白了 就是辅佐线`` 想通了这点 那些问题就全明白了

Answer 5

实质？呵呵。就是函数图像不变，只是整体发生移动。不知道这么说满不满意
沿向量平移，因为向量是有方向的，就是沿某一个向量表示的方向平移。
坐标系平移和函数平移是一个道理。坐标系左移相当于坐标系不变，函数右移。
只要表达式，整体上形式上不发生变化，只是用x+a,y+b将x，y替换即可。

在高等数学里。二重积分，三重积分和后面的线面积分都仍然用到极坐标。
还有球坐标，在柱坐标系中设x=rsinacosb，y=rsinasinb，z=rcosa的形式。
应用的环境大多是求积分区域为园，球和圆锥等旋转体的曲线。