Question

设数列{an}的前n项和Sn=4/3an-1/3×2n+1+2/3,n=1,2,3

,…(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn=n2/Sn,n=1,2,3,…,n证明:∑i=1Ti<3/2.

这是2006年数学的一道高考题 是哪个卷子上的？ 答案有哪位知道啊》？
帮帮忙啦

Answer 1

1)解：
当n=1时，a1=S1=(4/3)a1-(1/3)*2^(1+1)+2/3=(4/3)a1-2/3，解得:a1=2；
当n>1时：
Sn=(4/3)an-(1/3)*2^(n+1)+2/3=(4/3)an-2*(1/3)*2^n+2/3
S(n-1)=(4/3)a(n-1)-(1/3)*2^n+2/3=(4/3)a(n-1)-1*(1/3)*2^n+2/3
an
=Sn-S(n-1)
=[(4/3)an-2*(1/3)*2^n+2/3]-[(4/3)a(n-1)-1*(1/3)*2^n+2/3]
=(4/3)an-(4/3)a(n-1)-(1/3)*2^n
∴(1/3)an=(4/3)a(n-1)+(1/3)*2^n
即 an=4*a(n-1)+2^n
4*a(n-1)=4^2*a(n-2)+4*2^(n-1)
……
4^(n-2)*a2=4^(n-1)*a1+4^(n-2)*2^2
上述式子相加，得：
an=4^(n-1)*a1+2^n+4*2^(n-1)+…+4^(n-2)*2^2
=2^(2n-2)*2+2^n+2^2*2^(n-1)+…+2^(2n-4)*2^2
=2^(2n-1)+2^n+2^(n+1)+…+2^(2n-2)
=2^(2n-1)+2^n[2^0+2^1+…+2^(n-2)]
=2^(2n-1)+2^n*2^0*[1-2^(n-1)]/(1-2)
=2^(2n-1)+2^n*[2^(n-1)-1]
=2^(2n-1)+2^(2n-1)-2^n
=2^1*2^(2n-1)-2^n
=2^(2n)-2^n
∵a1=2=2^2-2^1，符合上式
∴数列{an}的通项公式是an=2^(2n)-2^n.
(2)证明：
Sn=(2^2-2^1)+(2^4-2^2)+…+[2^(2n)-2^n]
=[2^2+2^4+…+2^(2n)]-(2^1+2^2+…+2^n)
=4[1-(2^2)^n]/(1-2^2)-2(1-2^n)/(1-2)
=(4/3)[(2^n)^2-1]-2(2^n-1)
=(4/3)*(2^n)^2-4/3-2*2^n+2
=(4/3)*(2^n)^2-2*2^n+2/3
则Tn=2^n/Sn=1/[(4/3)*(2^n)-2+2/(3*2^n)]=(3/2)*1/(2*2^n+1/2^n-3).
设f(n)=1/(2*2^n+1/2^n-3)
=(2^n)/[2*(2^n)^2+1-3*(2^n)]
=(2^n)/(2^n-1)(2*2^n-1)
=[(2*2^n-1)-(2^n-1)]/(2^n-1)(2*2^n-1)
=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
则Tn=(3/2)*f(n)=(3/2)*{1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]}.
∴n
∑ Ti=T1+T2+T3+…+Tn
i=1
=(3/2)*{(1-1/3)+(1/3-1/7)+(1/7-1/15)+…1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]}
=(3/2)*{1-1/[2^(n+1)-1]}
=3/2-(3/2)*{1/[2^(n+1)-1]}
<3/2

Answer 2

1)S[n+1]=4a[n]+2
S[n]=4a[n-1]+2
两式相减得
a[n+1]=4a[n]-4a[n-1]
整理得a【n+1】-2a【n】＝2（a【n】-2a【n-1】）
即b【n】＝2b【n－1】
得证
(2)S【n+1】=4a【n】+2，a[1]=1
所以a[1]+a[2]=4a【n】+2
所以a[2]=5
因为a【n+1】-2a【n】＝2（a【n】-2a【n-1】）
所以a【n+1】-2a【n】=（a【2】-2a【1】）*2^(n-1)
＝3*2^(n-1)
两边同除2^(n+1)，整理得
a【n+1】/2^(n+1)-a【n】/2^n=3/4
即c(n+1)-c(n)=3/4
数列{C【n】}是等差数列
注：本人计算能力差，但思路绝对正确，你可以自行检验