Question

设函数fx在闭区间0 1上连续且单调不增，证明对于任何a属于0 1，都有

Answer 1

从0到1的定积分可写成0~a,a~1
又因为是单调递减,定积分a~1小於f(a)*(1-a)
所以我们有两个式子
左式为从0~a的定积分
右式为a*(0~a+f(a)*(1-a))
把两侧同减a*(0~a)
左式变成(0~a)*(1-a)
右式变成f(a)*(1-a)*a
同除(1-a),此项恒正所以不用变号
左式变成(0~a)
右式变成f(a)*a
在由中间值定理可知,存在一常数c在0~a间
使得定积分(0~a) = f(c)*a
又此函数是单调递减
所以f(c)>f(a)