Question

一道定积分题目

∫（上限2π，下限0）((sinx)^7+|cosx|)dx
求解

Answer 1

∫(上限2π，下限0）((sinx)^7+|cosx|)dx
=∫（上限2π，下限0）(sinx)^7dx+∫（上限2π，下限0）|cosx|dx

因为∫（上限2π，下限0）|cosx|dx=∫（上限π/2，下限0）cosxdx-∫（上限3π/2，下限π/2）cosxdx+∫（上限2π，下限3π/2）cosxdx
=sinπ/2-sin0-(sin3π/2-sinπ/2)+(sin2π-sin3π/2)
=4
而对于∫（上限2π，下限0）(sinx)^7dx,先不看上下限,先求不定积分
∫(sinx)^7dx=∫(sinx)^6*sinxdx
=-∫[1-(cosx)^2]^3d(cosx)
=-∫[1-3(cosx)^2+3(cosx)^4-(cosx)^6]d(cosx)
=-cosx+(cosx)^3-3/5*(cosx)^5+1/7*(cosx)^7+C
再把上下限带入求的定积分
∫（上限2π，下限0）(sinx)^7dx=0