Question

若一个n阶行列式d的所有元素都是1或-1,则其值必为偶数

Answer 1

1阶的就是奇数。

设n阶行列式为A,元素皆为正负1

n=1时不算在内

n=2时,显然成立

假设n=k时成立

则n=k+1时，行列式A按照第一行展开：

A=a11*A11*(-1)^(1+1)+...+a1i*A1i*(-1)^(1+i)+...+a1n*A1n*(-1)^(n+1)

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

此问题在n=1的时候显然是不成立的，只有在n≥2时才有这个结论的。证明可以利用行列式的定义展开式来证明，比较简单。回答如下：

Answer 3

1阶的就是奇数。

Answer 4

对的

Answer 5

啊，没错，没错，就是这个样子。