指数函数单调性证明
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是一定要按照定义来做呢?还是可以化为已知单调性的函数来做?
先求定义域:
分母不能为0,所以3^x-1≠0,3^x≠1,x≠0
所以f(x)的定义域分为两个分开的区间(-∞,0)和(0,+∞),在这两个区间里面分别讨论。
f(x)=(3^x+1)/(3^x-1)
=1+(2/(3^x-1))
当x∈(-∞,0)时
3^x-1<0,且单调递增
所以2/(3^x-1)<0,且单调递减。
所以f(x)=1+(2/(3^x-1))<1,且单调递减。
当x∈(0,+∞)时
3^x-1>0,且单调递增。
所以2/(3^x-1)>0,且单调递减。
所以f(x)=1+(2/(3^x-1))>1,且单调递减。
所以f(x)在两个开区间(-∞,0)和(0,+∞)内各自都是单调递减函数。
注意:f(x)只是在两个开区间(-∞,0)和(0,+∞)内各自都是单调递减函数。,但是在整个定义域内,不是单调递减函数,因为如果取x1<0,x2>0,很明显,x1<x2
那么f(x1)<1<f(x2)
所以在整个定义域内,不是单调递减函数,这也就是你在整个定义域范围内,用定义法无法证明其单调性的原因。此外3^x表示3的x次方,电脑没法把x打到上标去。
先求定义域:
分母不能为0,所以3^x-1≠0,3^x≠1,x≠0
所以f(x)的定义域分为两个分开的区间(-∞,0)和(0,+∞),在这两个区间里面分别讨论。
f(x)=(3^x+1)/(3^x-1)
=1+(2/(3^x-1))
当x∈(-∞,0)时
3^x-1<0,且单调递增
所以2/(3^x-1)<0,且单调递减。
所以f(x)=1+(2/(3^x-1))<1,且单调递减。
当x∈(0,+∞)时
3^x-1>0,且单调递增。
所以2/(3^x-1)>0,且单调递减。
所以f(x)=1+(2/(3^x-1))>1,且单调递减。
所以f(x)在两个开区间(-∞,0)和(0,+∞)内各自都是单调递减函数。
注意:f(x)只是在两个开区间(-∞,0)和(0,+∞)内各自都是单调递减函数。,但是在整个定义域内,不是单调递减函数,因为如果取x1<0,x2>0,很明显,x1<x2
那么f(x1)<1<f(x2)
所以在整个定义域内,不是单调递减函数,这也就是你在整个定义域范围内,用定义法无法证明其单调性的原因。此外3^x表示3的x次方,电脑没法把x打到上标去。
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