Question

如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB,BC,AC为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S

如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB,BC,AC为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S1,S2,设△ABC的面积为S．求证：S=S1+S2
不求答案，要思路

Answer 1

令AB的中点为O.则容易知道：
S1＝（1/2）π（AC/2)²－（扇形OAC的面积－△OAC的面积）,
S2＝（1/2）π（BC/2)²－（扇形OBC的面积－△OBC的面积）,
∴S1＋S2＝（1/8）π（AC²＋BC²）－（扇形OAC的面积＋扇形OBC的面积）－△ABC的面积.
由勾股定理,有：AC²＋BC²＝AB²,
∴S1＋S2＝（1/8）πAB²－（扇形OAC的面积＋扇形OBC的面积）－S.
设∠AOC的弧度为m、∠BOC的弧度为n,则：
扇形OAC的面积＝［m/（2π）］π（AB/2)²,
扇形OBC的面积＝［n/（2π）］π（AB/2)²
∴S1＋S2＝（1/8）πAB²－［（m＋n）/（2π）］π（AB/2)²－S.
显然,m＋n＝π,

∴S1＋S2＝（1/8）πAB²－（1/2）π（AB/2)²－S,
∴S＝S1＋S2.

追问

求思路

Answer 2

∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+CB2，S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积，=12×π×(AC2)2+12×π×(CB2)2+12×AC×CB-12×π×(AB2)2=18π（AC2+BC2-AB2）+12AC×BC=12×3×4=6．故答案为：6．

Answer 3

（1）在Rt△ABC中，有BC2+AC2=AB2…（1分）∴S1+S2=12π（12AC）2+12π（12BC）2-12π（12AB）2+S△ABC=18π（BC2+AC2-AB2）+S△ABC=S△ABC．…（4分）（2）∵AB+AC+BC=2+6，AB=2，∴AC+BC=6．…（5分）两边平方得：AC2+BC2+2AC?BC=6，又AC2+BC2=AB2=4，∴2AC?B...