Question

高等数学。 我问个与考试无关的问题： 等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错是为什

高等数学。
我问个与考试无关的问题：
等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错是为什么？

我相信研究这种问题对于我理解数学是有非常大的帮助。而不仅仅是拿个高分。(如果这个问题是过于复杂的话我可以根据回答的情况再次加分)

Answer 1

先证明只有分子用等价替换的情况,其他情况可以取倒数证明.
设分子为a+b,各自的等价无穷小为a',b',整体的等价无穷小为(a+b)'
lim(a+b)/c=lim(a+b)/c*1=lim(a+b)/c*(a+b)'/(a+b)=lim(a+b)'/c,这是等价替换的证明.
但如果拆开,我们就要先假设lima/c和limb/c都存在(无穷大不算,一定是一个具体数字),所以有时候你拆不开的.
其次,如果lima/c和limb/c都存在,就有lim(a+b)/c=lima/c+limb/c=lima'/c+limb'/c=lim(a'+b')/c.这时问题又来了.(a+b)'不一定等价于a'+b'看到了没有.这种情况是最常见的,例如我们有tanx-sinx~x²/2,但它不等价于x-x=0.

Answer 2

等价无穷小的必要条件是：b=a+高阶无穷小
1、不是乘除时，就可以用，之所以有这个结论是考题中等价无穷小替换后分子总和分母同阶或分子比分母高阶，这样得到的答案是极限存在，反之得到的极限是无穷大，这时需要用泰勒公式展开。
2、加减时，b=a+高阶无穷小中的a可能都被抵消了，只剩下高阶无穷了，这时高阶无穷小的加减才是答案。

Answer 3

因为你要替换的话，得同样级别的才能换！比如分子是两个可以替换的式子的和，那就不能随便换，得看看他俩的级别是否一样，好多学生常在这块出错。

Answer 4

加减中精确度不够