Question

数学必修五数列，第5第6第7题怎么做？

Answer 1

5.
S1=a1=1
n≥2时，
Sn²=an(Sn-1/2)=[Sn-S(n-1)](Sn-1/2)
整理，得S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
等式两边同除以SnS(n-1)
1/Sn-1/S(n-1)=2，为定值，
1/S1=1/1=1，数列{1/Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
6.
a(n+2)=[1+cos²(nπ/2)]an+sin²(nπ/2)
=[1+(1/2)+(1/2)cos(nπ)]an+[1-cos(nπ)]/2
=[(3/2)+(1/2)cos(nπ)]an+[1-cos(nπ)]/2
n为奇数时，cos(nπ)=-1
a(n+2)=[(3/2)+(1/2)(-1)]an+[1-(-1)]/2=an+1
a(n+2)-an=1，为定值，又a1=1，数列奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列
n为偶数时，cos(nπ)=1
a(n+2)=[(3/2)+(1/2)]an+(1-1)/2=2an
a(n+2)/an=2，为定值，又a2=2，数列偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列
前20项中，奇数项、偶数项各10项。
S20=S奇+S偶
=10×1+10×9×1/2 +2×(2^10 -1)/(2-1)
=2101
7.
a(n+1)=(5an-13)/(3an-7)
a2=(5×2-13)/(3×2-7)=3
a3=(5×3-13)/(3×3-7)=1
a4=(5×1-13)/(3×1-7)=2=a1
数列是按2，3，1循环的循环数列。
100/3=33余1，前100项循环33次，第34次未循环完成，仅有首项。
S100=(2+3+1)×33+2=200

追问

a(n+2)-an=1，不是应该d＝1/2吗？