Question

设方阵A满足A²-A-2E＝0，证明A及A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。

Answer 1

证明：
因为：
A²-A-2E=0
所以，上式化简为：
A(A-E)=2E
A [(1/2)(A-E)]=E
所以根据可逆阵的定义,得
A可逆,且:
A^(-1)=(1/2)(A-E);
而根据
A²-A-2E=(A+2E)(A-3E)-4E =0
可知：
(A+2E)[-1/4(A-3E)]=E
因此：
A+2E是可逆阵，且：
（A+2E）^（-1）=（-1/4)(A-3E)

Answer 2

引用vdakulav的回答：
证明：
因为：
A²-A-2E=0
所以，上式化简为：
A(A-E)=2E
A [(1/2)(A-E)]=E
所以根据可逆阵的定义,得
A可逆,且:
A^(-1)=(1/2)(A-E);
而根据
A²-A-2E=(A+2E)(A-3E)-4E =0
可知：
(A+2E)[-1/4(A-3E)]=E
因此：
A+2E是可逆阵，且：
（A+2E）^（-1）=（-1/4)(A-3E)

证明A+2E可逆那儿，应该是（A+2E）*（A-3E）+4E=0

Answer 3

第二个答案应该是1/4（A-3E）

Answer 4

引用vdakulav的回答：
证明：
因为：
A²-A-2E=0
所以，上式化简为：
A(A-E)=2E
A [(1/2)(A-E)]=E
所以根据可逆阵的定义,得
A可逆,且:
A^(-1)=(1/2)(A-E);
而根据
A²-A-2E=(A+2E)(A-3E)-4E =0
可知：
(A+2E)[-1/4(A-3E)]=E
因此：
A+2E是可逆阵，且：
（A+2E）^（-1）=（-1/4)(A-3E)

那个应该是＋4E吧

Answer 5

A(A-E)=2E
A(A-E)/2=E,所以A可逆，A的逆=（A-E）/2;
（A+2E）*（A-3E）=4E
（A+2E）*（A-3E）/4=E,所以A+2E可逆,它的逆=（A-3E）/4