Question

为什么三角形的面积等于三角形周长的一半乘以内切圆半径

Answer 1

内切圆的圆心也就是三角形的三条角平分线的交点，也叫做内心，它到三角形三边的距离相等（这个距离也就是高），且都等于内切圆的半径r，将内切圆的圆心与三角形的三个顶点相连，构成三个小三角形，它们的面积之和等于原三角形的面积。

所以S=1/2*a*r+1/2*b*r+1/2*c*r

=1/2(a+b+c)*r

=0.5(a+b+c)

计算方法

1、对于一般的三角形，三角形面积公式如下：

s=r（a+b+c）／2

2、在直角三角形s=r(a+b+c)/2的内切圆中，有这样两个简便公式如下：

（1）两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径：

r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）

（2）两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径：

r=ab/ (a+b+c)

Answer 2

因为是内切圆,所以圆心到每条边的距离就是半径,画出圆心到3个顶点的直线,那么三角形面积就是三个小三角形的面积之和,那么半径乘以任一条条边长除以2就是一个小三角形的面积,三个边长就是周长乘以半径除以2就是3个小三角形的面积,也就是大三角形的面积。
证法如下：因为三角形里面有一个内切圆,所以角ofc=角ofb=角odc=角oda=角oea=角oeb=九十度三角形周长设为C,则C=bf+fc+cd+da+ae+eb=bc+ac+ab,连接oc,oa,ob,则可呈现三个三角形,且of,od,oe就是它们的高,他们的总面积S=1/2×of ×bc+1/2×od×ac+1/2×oe×ab又因为三条半径of,od,oe相等都等于R,所以原式可变形得1/2R×（bc+ac+ab）bc+ac+ab=C,所以可变形得1/2R×C

Answer 3

很简单，因为是内切圆，所以圆心到每条边的距离就是半径，画出圆心到3个顶点的直线，那么三角形面积就是三个小三角形的面积之和，那么半径乘以任一条条边长除以2就是一个小三角形的面积，三个边长就是周长乘以半径除以2就是3个小三角形的面积，也就是大三角形的面积