Question

在三角形ABC中,AB=AC,BD垂直于AC,CE垂直于AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点O,求证:AO垂直于BC

在三角形ABC中,AB=AC,BD垂直于AC,CE垂直于AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点O,求证:AO垂直于BC

Answer 1

证明：
在三角形ABD和三角形ACE中，
BAD=CAE，
ADB=90=AEC，
AB=AC，
所以ABD全等于ACE（角、角、边）。
所以AD=AE。

在直角三角形ADO和直角三角形AEO中，
AO=AO，
AD=AE，
所以ADO全等于AEO（斜边、直角边）。
所以DAO=EAO。

延长AO交BC于F，则在三角形AFB和AFC中，
AB=AC，
BAF=CAF，
AF=AF，
所以AFB全等于AFC（边、角、边）。
所以角AFB=角AFC，
而AFB+AFC=180，
所以AFB=AFC=90，
即AF垂直于BC。

Answer 2

解：因为在三角形ADB和三角形AEC中
∠AEC=∠ADB=90度
∠BAC=∠BAC（公共角）
AB=AC（已知）
所以三角形ADB≌三角形AEC（AAS）
所以AE=AD
在三角形AEO和三角形ADO中
AE=AD
AO=AO（公共边）
∠AEO=∠ADO=90度
所以三角形AEO≌三角形ADO（HL）
EO=DO
因为 角平分线上的点到角两边的距离相等
所以AO是角BAC的角平分线
因为三角形ABC是等腰三角形
所以AO⊥BC