Question

为什么二重积分可以算面积

Answer 1

为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→ ∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即

∫∫f(x,y)dδ=limλ →0（Σf(ξi,ηi)Δδi）

这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫

Answer 2

因为二重积分定义的几何意义就是z值为正时曲顶柱体的体积，微元相当于 投影面积，被积函数相当于高。那么如果里面的被积函数值为1，就说明这个柱体的高被视为很小的定值，它相当于一个平面薄板，这个时候二重积分算的就是这个平面薄板的面积，也相当于它的体积。

Answer 3

为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim
n→
∞
(n/i=1
Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ
→0（Σf(ξi,ηi)Δδi）
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素,
D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫

Answer 4

引用独吟独赏独步的回答：
因为二重积分定义的几何意义就是z值为正时曲顶柱体的体积，微元相当于 投影面积，被积函数相当于高。那么如果里面的被积函数值为1，就说明这个柱体的高被视为很小的定值，它相当于一个平面薄板，这个时候二重积分算的就是这个平面薄板的面积，也相当于它的体积。

高很小值不代表就可以取1，这里的1是为了避开高的存在，就像可以用三重积分求体积一样，本来三重积分是用来求质量的，但是被积函数为1的时候其实避开了密度，体积乘以密度1获得的质量的数值和体积是一样的。放在二重积分之下，就是让积域乘以高度1，获得与积域面积数值相同的体积，尽管单位不一样，可是数值上和积域面积相同。