Question

如果对于任何实数x,都有f(x+1)=x^2+3x+5，则f(x)和f(x-1)的解析式分别是？

Answer 1

解法一：配凑法
f(x+1)=x²+3x+5
=x²+2x+1+x+1+3
=(x+1)²+(x+1)+3
将x+1换成x，得f(x)的解析式：f(x)=x²+x+3
将x+1换成x-1，得：
f(x-1)=(x-1)²+(x-1)+3
=x²-2x+1+x-1+3
=x²-x+3
f(x-1)的解析式为f(x)=x²-x+3

解法二：代换法
令x+1=t，则x=t-1
f(x+1)=x²+3x+5
f(t)=(t-1)²+3(t-1)+5
=t²-2t+1+3t-3+5
=t²+t+3
将t换成x，得f(x)的解析式：f(x)=x²+x+3
将x换成x-1，得：
f(x-1)=(x-1)²+(x-1)+3
=x²-2x+1+x-1+3
=x²-x+3
f(x-1)的解析式为f(x)=x²-x+3

两种方法都是求f(x)解析式的常规方法，对于本题，配凑法比代换法更简便。

Answer 2

令t=x+1,x=t-1
g(t)=t²-2t+1+3t-3+5=t²+t+3
f(x)=x²+x+3
同理求f(x-1)