Question

x''+x'+x=e^-t的通解

Answer 1

求微分方程x''+x'+x=e^(-t)的通解
解：齐次方程x''+x'+x=0的特征方程 r²+r+1=0的根:
r₁=-(1/2)+i(√3)/2; r₂=-(1/2)-i(√3)/2.
故齐次方程的通解为：x=e^(-t/2)[C₁cos(t√3/2)+C₂sin(t√3/2)]
设原方程的一个特解为 x*=(at+b)e^(-t)
x*'=ae^(-t)-(at+b)e^(-t)=(-at+a-b)e^(-t)
x*''=-ae^(-t)-(-at+a-b)e^(-t)=(at-2a+b)e^(-t)
代入原式得： (at-2a+b)e^(-t)+(-at+a-b)e^(-t)+(at+b)e^(-t)=e^(-t)
化简得 (at-a+b)e^(-t)=e^(-t）
故a=0，b=1；即x*=e^(-t)
于是得原方程的通解为 x=e^(-t/2)[C₁cos(t√3/2)+C₂sin(t√3/2)]+e^(-t)