Question

不定积分计算题，如图红笔所示。

不定积分计算题，如图红笔所示。sint的值域在[-1，1]，为什么答案中的t定义域取(-pi/2，pi/2)，而不是(负无穷，正无穷)吗?

Answer 1

(1)应该是t∈[-π/2，π/2]

(2)[-π/2，π/2]是sint的单调区间，
sint在[-π/2，π/2]上就可以取遍[-1，1]内所有值，
所以，只需限制t∈[-π/2，π/2]

(3)在此区间，t=arcsinx，
其余区间t表示成x的函数相对复杂

(4)t∈[-π/2，π/2]，
√(a²-x²)=√(a²cos²t)=acost
其它区间只能得到
√(a²-x²)=√(a²cos²t)=a|cost|

综合上面种种，
所以，限制t∈[-π/2，π/2]，
这是可行的，也是为了后面计算的简便。

Answer 2

反三角正弦函数的值域
t=arcsinx有无穷个t对应x

Answer 3

因为值域是[-1, 1]，而[-pi/2, pi/2]是正好能够实现值域为[-1, 1]的一个周期，你取其它的值是跟这个范围重复的，一样的。