Question

利用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

利用拉格朗日中值定理证明下列不等式:要步骤，谢谢！

Answer 1

设f(x)=lnx，则f'(x)=1/x
∵0＜a＜b
∴f(x)在[a，b]上连续，
在(a，b)内可导，
即满足拉格朗日中值定理的所有条件。

∴存在ξ∈(a，b)，使得
f'(ξ)=1/ξ=[f(b)-f(a)]/(b-a)

∵0＜a＜ξ＜b
∴1/b＜1/ξ＜1/a
∴1/b＜[f(b)-f(a)]/(b-a)＜1/a
∴(b-a)/b＜f(b)-f(a)＜(b-a)/a

追问

问: 求函数f(x)=x³-3x的单调区间和极值

追答

f'(x)=3(x+1)(x-1)
f'(x)=0
解得，x=±1
列表如下
x (-∞,-1) (-1,1) (1,+∞)
f'(x) + - +
f(x) ↗ ↘ ↗