Question

天啦，看不懂书上极限的证明，谁能用通俗易懂一点的语言说一说呀

一个是数列极限，一开始要把数列的式子跟极限相减，然后得到一个表示数列跟那个极限距离的式子是吧，接着就要找一个定值N，在n＞N的情况下，使那个距离要比ε小，是不是这个逻辑呀，可是ε不是任意取的一个数吗，怎么找出N来啊，难道要把ε看做一个数，然后距离＜ε，用ε来表示n，然后这个时候算出来的n就是N，但是N是一个整数啊好像，然后取整又是怎么取的呢，取大一点还是小一点呢，最后这个N算出来了，就可以保证在n>N的情况下那个距离要比ε小吗，那如果这个数列是震荡的呢，这个证明方法是不是说明了数列无限逼近那个极限，数列与极限的距离可以无限变小，无论ε有多小都可以找到比它更小的距离，这个道理我明白可我就是不！会！证！明！QAQ

然后是函数极限，这个是不是要分成自变量趋近有限值，有限值是不是就是一个具体的数字呀，这个的证明及就更绕了，还引入了领域的概念，为啥要用领域这个概念啊，定义一开始说任意给一个ε，然后x0这一点的值是A，自变量从左右两边靠近X0，在x0左右可以找到一个长度为σ区域，x轴上标注 x0-σ和x0+σ两点关于X0对称，它们对应的函数值，以及它们内度对应的函数值都在 A+ε与A+ε之间，是这个意思吗，为啥证明题一开始又让函数与极限相减？减出来的东西表示啥啊，跟 A+ε与A+ε有关系吗，是又让减出来的那个绝对值小于 ε吗？然后得出X关于ε的表达式？最后证明取了个σ=一个值的时候就有那个差值小于ε，这一步怎么找出来的啊？

Answer 1

ε是任意小的正数,对于每个ε,都可以找到一个N,相当于N就是ε的函数.取整的时候一般向下取整,只要n>N,就一定可以保证数列与极限值之间的距离小于给定的ε,即"你要多近我就能有多近".
有限值是具体的数字,函数与极限相减取绝对值,就类似于数列一样,是表示函数与极限值的接近程度(距离).看来你是中学基础一点也不好,绝对值不等式一点也没有掌握.|x|<a等价于-a<x<a有没有问题?没问题的话你还不能理解"在A-ε和A+ε之间"的话,我也是建议你重新复读一年.用函数极限的定义证明极限,δ比较难找,因为有时候要限定ε或者x的范围,只能具体问题具体分析.