Question

已知关于x的方程x²-(3k-1)x-3(k+1)=0 (1)求证:无论k为何实数，方程总有两个不

已知关于x的方程x²-(3k-1)x-3(k+1)=0
(1)求证:无论k为何实数，方程总有两个不相等实数根(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且x1-x2的绝对值等于4，求k的值

Answer 1

(1)
判别式△=[-(3k-1)]²-4·1·[-3(k+1)]
=9k²+6k+1+12
=(3k+1)²+12
平方项恒非负，(3k+1)²≥0，(3k+1)²+12≥12>0
△恒>0，无论k为何实数，方程总有两不等实根。
(2)
由韦达定理得：
x₁+x₂=-[-(3k-1)]/1=3k-1
x₁x₂=-3(k+1)/1=-3k-3
|x₁-x₂|=4
(x₁-x₂)²=16
(x₁+x₂)²-4x₁x₂=16
(3k-1)²-4(-3k-3)=16
3k²+2k-1=0
(k+1)(3k-1)=0
k=-1或k=⅓
k的值为1或⅓

Answer 2

(1)证明：因为方程的判别式
=[(-(3k-1)]^2+4^3(k+1)
=9k^2-6k+1+12k+12
=9k^2+6k+13
=(3k+1)^2+12>0
所以判别式>0
所以无论k为何实数时，方程总有两个不相等的实数根
（2）解;由题意得
x+x2=3k-1
x1x2=-3(k+1)
Ix1-x2I=4
解得：k1=1/3 k2=-1
所以k的值是1/3或-1