Question

设A，B为n阶实矩阵，r(A)表示A的秩,证明:r(AB)=r(A)的充要条件为存在n阶矩阵

设A，B为n阶实矩阵，r(A)表示A的秩,证明:r(AB)=r(A)的充要条件为存在n阶矩阵C，使得ABC=A

Answer 1

AB=0 的充分必要条件是B的列向量都是Ax=0的解
所以令B为AX=0的基础解系构成的矩阵即满足 R(B)=n-R(A),且AB=0.