Question

高等数学级数敛散性问题，图中波浪线部分，为什么证明了原级数不绝对收敛，就说它发散呢？不可能是条件收

高等数学级数敛散性问题，图中波浪线部分，为什么证明了原级数不绝对收敛，就说它发散呢？不可能是条件收敛吗？谢谢！

Answer 1

这里是证明后项比前项的绝对值的极限是+∞的时候，原级数不收敛。
因为后项比前项的绝对值的极限是+∞的话，总可以找到从某项开始，后面各项的绝对值都是越来越大的。那么绝对值越来越大的级数，就算是交错级数，也不可能收敛啦。

追答

仔细看了下，那个是证明了当n→∞的时候，|un|的极限是+∞，只要un的极限不是0的级数，都是不收敛的。收敛的极限，各项的极限必然是0。设前n项和等于Sn，如果级数收敛，那么可以知道lim（n→∞）Sn=lim（n→∞）S（n-1）=级数的和
而un=Sn-S（n-1），所以lim（n→∞）un=lim（n→∞）[Sn-S（n-1）]=lim（n→∞）Sn-lim（n→∞）S（n-1）=0
所以收敛的极限，项的极限必然是0，项的极限不是0的，级数一定不收敛。

追问

加了绝对值之后的级数和原级数不一定相等吧……？

为什么证明了加了绝对值的级数an不是0就说明了原级数发散呢？

还是不太懂……不好意思……

追答

追问

嗯嗯我明白你的意思了！但是因为我概念不清还是想最后问一个问题……_(:_」∠)_如果绝对值内的级数是交错级数，取值一正一负，加了绝对值之后变成所有项完全正的级数，不会出现加了绝对值的级数极限是无穷而原级数不是无穷的情况是吗？

追答

只能说，如果某个交错级数加了绝对值，极限是+∞，那么不加绝对值，就是部分项趋近于+∞，部分项趋近于-∞了。总之绝对值趋近于∞的话，那么绝对值里面的数就是分别往±∞方向趋近。

追问

那部分项趋向于正无穷部分项趋向于负无穷……加起来不会是0吗？

这么说来……加了绝对值之后的极限并不一定和原级数极限等价呀_(:_」∠)_……

还是我理解错了？？

追答

你怎么就不相信定理的证明呢？前面说了，级数收敛，项的极限必然是0，怎么得到这个结论的，也给你了。你又脑洞大开，想着（+∞）+（-∞）来等于0
我就给你举个简单的例子吧。
1，-2，3，-4，5……[（-1）^n]n这个数列，是交错级数
刚好|Un|的极限是∞
而Sn的情况则是
S1=1；S2=-1；S3=2：S4=-2：S5=3；S6=-3……
你看看Sn收敛吗？不收敛，（+∞）+（-∞）是不能像（+1）+（-1）那样简单抵消的。

追问

哈哈哈哈哈哈哈哈哈好的我知道啦😂😂

thank u ！

Answer 2

都不是交错级数怎么条件收敛？

追问

如果a是负数，有负号，加一个n次方……不全是交错级数吗……？

或许是我脑蒙了。

话说就算不是交错级数……就没有绝对收敛了？

或许又是我脑蒙了吧