复数z的平方小于0，则说明复数z是虚数，为什么？

可以设复数z=a+bi。那么z的平方=a平方+2abi+b平方请问，这个式子中有i，怎么和实数比大小？不是不能比的吗？为什么z平方小于0就一定是虚数呢？给个直接证明，不要... 可以设复数z=a+bi。
那么z的平方=a平方+2abi+b平方
请问，这个式子中有i，怎么和实数比大小？不是不能比的吗？
为什么z平方小于0就一定是虚数呢？给个直接证明，不要用“若z为实数，则b=0,所以z平方必然大于0，所以小于0就是虚数”之类的说法，难道数字除了实数就是虚数吗？虽然在高中阶段是这样认为的... 展开

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1个回答

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匿名用户
2016-10-20

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首先z的平方小于0，说明z的平方必须是负实数。
因为只有实数才能比大小，既然z的平方能和0比大小，那么z的平方就必须是实数。小于0的实数，当然就是负实数。
而负实数开平方根，得到的就算纯虚数，所以z必然是纯虚数。
证明也可以
设z=a+bi（a、b是实数）
根据题意z²=（a+bi）²=（a²-b²）+2abi是个负实数
所以2ab=0，a²-b²＜0
2ab=0则有a=0或b=0
当b=0的时候，a²-b²=a²≥0，和a²-b²＜0矛盾，舍去。
当a=0的时候，a²-b²=-b²，只要b≠0，则a²-b²＜0
所以z=bi（b≠0）
即z是纯虚数。