求√(12+4x-x∧2)在(-2,2)上的定积分
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将被积函数整理一下
√(12+4x-x^2)=√[16-(x-2)²]
这时候就可以利用三角换元进行计算:
令(x-2)²=16sin²t,则x=4sint+2,dx=4costdt
积分函数=√[16-(x-2)²]=√[16-16sin²t]=4cost
∴原积分=∫√[16-(x-2)²]dx=∫4cost·4costdt=16∫cos²tdt
然后利用降幂公式:cos²t=(1+2cos2t)/2
上式=8∫(1+2cos2t)dt=8t+8sin2t(因为是定积分,就不用+C了)
然后有两个做法:还原成x带入原上下限,或者是算出t的上下限再带入
按照第二种做法吧,x=2时,4sint+2=2得t=0;x=-2时,4sint+2=-2得到t=-π/2
(这个里面需要注意,换元法的时候,如果是和sint有关的,那t的取值是[-π/2,π/2],如果是和cost有关的,那t的取值是[0,π],和其反函数arcsinx以及arccosx的值域是一样的)
然后把上下限带入进取结果是4π
√(12+4x-x^2)=√[16-(x-2)²]
这时候就可以利用三角换元进行计算:
令(x-2)²=16sin²t,则x=4sint+2,dx=4costdt
积分函数=√[16-(x-2)²]=√[16-16sin²t]=4cost
∴原积分=∫√[16-(x-2)²]dx=∫4cost·4costdt=16∫cos²tdt
然后利用降幂公式:cos²t=(1+2cos2t)/2
上式=8∫(1+2cos2t)dt=8t+8sin2t(因为是定积分,就不用+C了)
然后有两个做法:还原成x带入原上下限,或者是算出t的上下限再带入
按照第二种做法吧,x=2时,4sint+2=2得t=0;x=-2时,4sint+2=-2得到t=-π/2
(这个里面需要注意,换元法的时候,如果是和sint有关的,那t的取值是[-π/2,π/2],如果是和cost有关的,那t的取值是[0,π],和其反函数arcsinx以及arccosx的值域是一样的)
然后把上下限带入进取结果是4π
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