Question

求√(12+4x-x∧2)在(-2,2)上的定积分

Answer 1

直接用公式法，简单快捷

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 2

　　将被积函数整理一下
　　√(12+4x-x^2)=√[16-(x-2)²]
　　这时候就可以利用三角换元进行计算：
　　令(x-2)²=16sin²t，则x=4sint+2，dx=4costdt
　　积分函数=√[16-(x-2)²]=√[16-16sin²t]=4cost
　　∴原积分=∫√[16-(x-2)²]dx=∫4cost·4costdt=16∫cos²tdt
　　然后利用降幂公式：cos²t=(1+2cos2t)/2
　　上式=8∫(1+2cos2t)dt=8t+8sin2t（因为是定积分，就不用+C了）
　　然后有两个做法：还原成x带入原上下限，或者是算出t的上下限再带入
　　按照第二种做法吧，x=2时，4sint+2=2得t=0；x=-2时，4sint+2=-2得到t=-π/2
　　（这个里面需要注意，换元法的时候，如果是和sint有关的，那t的取值是[-π/2,π/2]，如果是和cost有关的，那t的取值是[0,π]，和其反函数arcsinx以及arccosx的值域是一样的）
　　然后把上下限带入进取结果是4π